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Klausurthemen

# Kurvendiskussion

Hier beispielhaft anhand dieser Funktion:
f(x)

# y-Achsenabschnitt

a

# Symmetrie

Symmetrie lässt sich in der Regel leicht durch genaues Hinsehen erkennen:

Bei Gliedern in der Funktionsgleichung, die kein x beinhalten, gilt zum Beispiel für die Zahl 1:

b

0 ist ein gerader Exponent.

Unsere Funktion ist nicht symmetrisch, da die Exponenten gemischt sind.

# Nullstellen

Nullstellen lassen sich in der Regel leicht mit dem Taschenrechner berechnen. Jedoch gibt es für Funktionen zweiten Grades die leicht anwendbare pq-Formel, die da lautet:

c

Die Formel lässt sich aber nur anwenden, wenn die Formel wie folgt lautet:

d

Für Funktionen höher als zweiten Grades gibt es neben dem Taschenrechner die Wahl zwischen zwei Methoden:

  1. Ausklammern, N1 = 0 und dann zum Beispiel mit pq-Formel weiterrechnen
  2. Polynomdivision und dann weiterrechnen

Ist Ausklammern mit x möglich, sollte man in jedem Fall davon Gebrauch machen. Ausklammern ist löblicher und nicht so fehleranfällig wie die Polynomdivison.

Beide Möglichkeiten werden nun hier kurz besprochen.

# Ausklammern (löblich!)

Gegeben sei die Funktion

e

Ausklammern (aka Teilen durch x):

f

Wichtig: Vor einer einzelnen, freistehenden Variable steht prinzipiell eine 1, die in keinem Fall weggelassen werden darf. Hier ist dies jedoch nicht der Fall.

Eine Nullstelle haben wir nun schon:

Nun wird mit der pq-Formel weitergerechnet. Dafür muss aber vorerst durch 4 geteilt werden.

Nun wenden wir die löbliche pq-Formel an.

Hurra! Nun haben wir alle Nullstellen unserer Funktion gefunden:

# Polynomdivision

Gegeben sei die Funktion

Ausklammern ist hier nicht möglich.
Nun muss man raten, wo die Stelle eine Nullstelle haben könnte. Ich rate -4. Somit muss der Divisor (x+4) sein. Der Divident ist ja offensichtlich. Hier ist die vollständige Polynomdivision:

Mit dem Divisionsergebnis kann man nun weiterrechnen, zum Beispiel die pq-Formel anwenden. Dies wird hier nicht besprochen; ein pq-Formel-Beispiel in epischer Breite findet sich im Abschnitt "Ausklammern".

# Verhalten im Unendlichen

Unsere obige Funktion

f(x)

lässt sich so beschreiben:

Lies: Die Funktion kommt aus dem negativen Unendlichen und geht in das positive Unendliche.

Prinzipiell muss man sich die Funktion nur bildlich vorstellen und wissen, Funktionen welchen Grades welche Quadranten tangieren.

# Extrema

Extrema können bestimmt werden, indem man die Nullstellen der 1. Ableitung (f'(x)) berechnet, diese also gleich 0 setzt.
Hier die Ableitungsfunktionen einer Funktion f(x):

Dies tun wir jetzt. Praktischerweise ist die erste Ableitung selbst eine Funktion zweiten Grades, also können wir mit ein bisschen Rechnerei gleich die pq-Formel benutzen. Vorerst muss aber durch geteilt werden:

Nun wenden wir die pq-Formel an.

Um nun zu bestimmen, ob es sich um Hoch- oder Tiefpunkte handelt, setzen wir die eben errechneten xE in f''(x) ein.

Es gilt:

# Wendepunkte und Sattelpunkte

Verfahren:

Merke: Ein Sattelpunkt ist immer ein Wendepunkt. Ein Wendepunkt muss kein Sattelpunkt sein.

Für einen Sattelpunkt gilt:

Für einen Wendepunkt hingegen gilt:

Krümmung an der Wendestelle xW:

Ergo: Für einen Wendepunkt gelten nur die letzten beiden Bedingungen als für einen Sattelpunkt.

Um zu unterscheiden, ob ein spezifischer Wendepunkt vielleicht ein Sattelpunkt ist, wird der x-Wert in die erste Ableitung eingesetzt.

# Skizze

# Skizze der Ableitung

# Differentialquotient


© M. Grossmann, 2011.

Es gibt kein Satzprogramm außer TeX, und LaTeX ist eins seiner Makrosammlungen.